樹

圖論

共18個含義

樹（英語：tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實現這種抽象數據類型的數據結構，用來模拟具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>0）個有限節點組成一個具有層次關系的集合。它是一種無向圖（h），其中任意兩個頂點間存在唯一一條路徑。樹圖廣泛應用于計算機科學的數據結構中，比如二叉查找樹、堆、Trie樹以及數據壓縮中的霍夫曼樹等。

頂點

v

邊

v　-　1

色數

2

定義

如果一個無向簡單圖G　滿足以下相互等價的條件之一，那麽G　是一棵樹：

G　是沒有回路的連通圖。

G　沒有回路，但是在G内添加任意一條邊，就會形成一個回路。

G　是連通的，但是如果去掉任意一條邊，就不再連通。

G　是連通的，并且3頂點的完全圖?不是G的子圖。

G内的任意兩個頂點能被唯一路徑所連通。

如果無向簡單圖G有有限個頂點（設爲n個頂點），那麽G　是一棵樹還等價于：

G是連通的，有n　?　1條邊，并且G沒有簡單回路。

如果一個無向簡單圖G中沒有簡單回路，那麽G是森林。

性質

一棵樹中每兩個點之間都有且隻有一條路徑（指沒有重複邊的路徑）。一顆有N個點的樹有N-1條邊，也就是連接N個點所需要的最少邊數。所以如果去掉樹中的一條邊，樹就會不連通。

如果在一棵樹中加入任意的一條邊，就會得到有且隻有一個環的圖。這是因爲這條邊連接的兩個點（或是一個點）中有且隻有一條路徑，這條路徑和新加的邊連在一起就是一個環。如果把一個連通圖中的多餘邊全部删除，所構成的樹叫做這個圖的生成樹。

如果要在樹中加入一個點，就要加入一條這個點和原有的點相連的邊。這條邊不會給這棵樹增加一個環或者多餘的路徑。所以每次這樣加入一個點，就可以構成一棵樹。

一棵樹既可以是有向的也可以是無向的。顯然，樹是連通圖，但不會是雙連通圖（對于無向圖）或者強連通圖（對于有向圖）。樹可以算是稀疏圖。

顯然樹中也沒有自環和重複邊。

有根樹

在一棵樹中可以指定一個特殊的節點：根。一個有根的樹叫做有根樹。

有根樹中的節點可以根據到根的距離分層。一顆有根樹的層數叫做這棵樹的高度。節點最多的那一層的節點數叫做這棵樹的寬度。對于有根樹，每條邊都有一個特殊的方向：指向根節點的方向，或者說上一層的方向（或者相反的，指向葉節點的方向，下一層的方向）。一條邊的兩個端點中，靠近根的那個節點叫做另一個節點的父節點（也叫父親、雙親、雙親節點），相反的，距離根比較遠的那個節點叫做另一個節點的子節點（也可以叫孩子，兒子，子女等）。父親方向的所有節點都叫做這個節點的祖先，兒子方向的所有節點都叫做這個節點的子孫。沒有子節點的子節點叫做葉節點（或者葉子節點）。由于到根的路徑隻有一條，根節點以外的節點的父節點永遠隻有一個，祖先就是這個點到根的路徑上的所有節點（包括根，不包括這個節點本身）。另外，以一個節點爲根的樹是指包括這個節點和其所有子孫，并以這個節點爲根的樹。由于一般不需要這以外的子樹，每一個節點也可以對應到一個以其爲根的樹，一個節點的子樹通常也是指以這個節點的子節點爲根的樹。

如果一顆有根樹每個節點的子樹最多有n個，同時每個節點在其父節點中都有固定的可能可以留空的位置，這棵樹叫做n叉樹。其中每個節點都可以有兩個固定位置的子樹的有根樹叫做二叉樹，二叉樹中每個節點的兩個子樹分别叫做左子樹和右子樹，由于位置固定，沒有左子樹的時候也是可以有右子樹的。而“多叉樹”通常并不指n爲任意值的n叉樹，隻是在和n叉樹作比較的時候表示普通的有根樹。

對于随機的樹，高度的平均複雜度是O(logn)，但是沒有限制而且不随機的樹高度也可以達到O(n)，也就是除了葉節點都隻有一個子樹，或者常數個分支的情況。所以樹作爲數據結構時通常需要另外進行平衡。

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對于普通的樹，可以像圖一樣爲每一個點存儲一個邊表（通常按順序存和每一個點的關系的叫做鄰接矩陣，存具體的邊的叫做鄰接表），或者直接存儲所有邊的邊表等。由于樹是稀疏圖，所以一般不用鄰接矩陣存儲。對于有根樹，如果用爲每一個點儲存一個邊表的方法，由于每一棵樹都隻有一個父節點，所以通常指向父節點的邊不存在這個表中。同時如果子節點是沒有順序的，也是因爲一個節點的子節點不會同時是其他節點的子節點，也可以把子節點直接當成存邊的鏈表的節點，這時候每個節點隻需要儲存兩個指針，所以這種存儲方法有時候也會被叫做多叉樹轉二叉樹。

對于子節點是有順序的有根樹，每條邊都可以以固定的位置分别儲存。對于完全二叉樹甚至能直接用一個數組訪問所有節點，不另外儲存邊的信息。有的樹可以被設計成固定的從根節點開始訪問，這時候可以不儲存父節點。同樣的，有的樹也可以省略子節點，例如并查集。

對于一般的樹，可以用和普通的圖一樣的方法遍曆，比如深度優先搜索和寬度優先搜索。如果和樹的每個節點相鄰的點有固定的順序，深度優先搜索可以不儲存當前點以外的任何信息，而且不用判重。而在有根樹中更方便，所以有根樹中很少使用寬度優先搜索。